Aplicación del Método de Volúmenes Finitos para Análisis de Transferencia de Calor Unidimensional en Régimen Transitorio

Javier Alejandro Velasco Villarroel
Carrera de Ingeniería Mecánica, Facultad Nacional de Ingeniería
Universidad Técnica de Oruro javelascov@yahoo.es

Dr. Eng. Ellie Luis Martínez Padilla ]]> Laboratorio de Mecânica dos Fluidos, Faculdade de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Uberlândia - Minas Gerais

Resumen

Se propone estudiar mediante el método de volúmenes finitos el fenómeno físico de transferencia de calor unidimensional en régimen transitorio.

Para ello se hace inicialmente la formulación general, integrando en el eje espacial y en el tiempo a partir de la ecuación diferencial general simplificada, utilizando una función de interpolación temporal, obteniendo así los coeficientes del sistema de ecuaciones característico al fenómeno físico. Además se obtienen las ecuaciones para los contornos a partir de un balance térmico en el tiempo actual.

Finalmente se hacen las formulaciones para la resolución explícita e implícita del sistema de ecuaciones, presentando un ejemplo de resolución, mostrando los valores obtenidos y la gráfica de los mismos.

Palabras clave: Volúmenes finitos, transferencia de calor, régimen transitorio.

Abstract

It's proposed to study the physical phenomenon of one-dimensional transient heat transfer with the Finite Volumes Method.

Finally, the formulation for explicit resolution and implicit resolution of the equation system is obtained, presenting an example of resolution, and showing the values obtained anda graph representing those values.

Key works: Finite volume method, heat transfer, transient conduction.

Resumo

Propõe-se estudar, o fenômeno físico de transferência de calor unidimensional em regime transiente, utilizando o método dos volumes finitos.

Inicialmente é feita a formulação geral, fazendo a integração no eixo espacial e no tempo, a partir da equação geral simplificada, utilizando uma função de interpolação temporal, sendo obtidos desse jeito, os coeficientes do sistema de equações característico ao fenômeno físico. Alem disso, são obtidas as equações dos volumes que ficam nos contornos, obtidas a partir dum balance de energia no tempo atual.

Finalmente, são feitas as formulações para a resolução explicita e implícita do sistema de equações, apresentando um exemplo de resolução numérica, mostrando os valores obtidos e um gráfico destes valores.

Palavras chave: Volumes finitos, transferência de calor, regime transiente.

En el presente artículo se realiza la formulación matemática para la resolución de un problema físico de transferencia de calor unidimensional en régimen transitorio, utilizando para ello el método de volúmenes finitos.

Desarrollo del Modelo Matemático General

Inicialmente, se parte de la ecuación general, que en términos conceptuales puede ser escrita de la siguiente forma:

En notación tensorial, esta ecuación es escrita de la siguiente forma:

En el caso de un problema de transferencia de calor, la variable genérica equivale a la temperatura T en el centro de cada volumen finito.

Asimismo, el término en este caso representa:

Tomando en cuenta las siguientes consideraciones:

•     Transferencia de calor en régimen transitorio, es decir, la temperatura varía en función del tiempo

•     Transferencia de calor unidimensional, además se utilizarán coordenadas rectangulares; es decir, la temperatura solamente varía en función de la variable x, siendo las derivadas de la temperatura respecto de las otras variables espaciales iguales a cero.

•     Al tratarse de un medio sólido a través del cual se realiza el proceso de transferencia de calor, no existe transporte de la temperatura, por lo tanto el término advectivo es igual a 0.

•      En el caso de los volúmenes ubicados en los extremos, el término fuente representa parte de la ecuación de transferencia de calor por convección que se realiza en los extremos. En todos los demás volúmenes, el término fuente es igual a cero.

La ecuación tensorial queda escrita como:

En general, los volúmenes finitos en la dirección del eje x se pueden representar de la siguiente forma:

A continuación se procede a integrar esta ecuación con el fin de convertir dicha ecuación diferencial en derivadas parciales, en una ecuación lineal a partir del cual se formará un sistema de ecuaciones.

Aproximando las derivadas mediante Serie de Taylor truncada:

La temperatura resultante de la integración del término transiente corresponde a la temperatura en el centro de la célula P correspondiente a los instantes (t + At) y At respectivamente. En el caso de las temperaturas resultantes de la integración del término difusivo, corresponde a las temperaturas en los centros de los volúmenes E, P y W respectivamente, sin embargo, aún no ha sido asignado el instante de tiempo en el cual ocurren estas temperaturas.

Esta asignación se hará mediante una función de interpolación temporal, cuya ecuación es:

La ecuación integrada queda de la siguiente forma:

Por lo tanto, la ecuación lineal genérica puede ser expresada de la siguiente forma:

Donde los coeficientes son:

En el caso de una malla uniforme y con medios volúmenes en los contornos se tiene la siguiente expresión para las dimensiones de cada célula en función del número total de volúmenes j:

Un parámetro adimensional conocido como número de Fourier está definido por:

En este caso particular, el número de Fourier puede ser reescrito como:

Con estas consideraciones, los coeficientes pueden ser reescritos de la siguiente manera:

Para las fronteras, se utilizarán condiciones de contorno tipo A (medios volúmenes en los contornos, ver figura 2). A través de un balance térmico en el instante actual t + At, se tiene:

En este caso no existe generación interna de calor, por lo tanto se tiene:

La temperatura del medio fluido permanecerá constante en el tiempo, representa la temperatura del volumen adyacente o vecino y la distancia entre el centro del volumen ubicado en el contorno y el centro del volumen adyacente o vecino. Así también se considerará que no existe variación del coeficiente de convección h a lo largo del tiempo debido al valor constante de

Método Explícito

En el caso del método explícito, conocido también como Método de Euler, el valor de f es 0. Por lo tanto en este caso, los valores de cada coeficiente son:

Como se puede ver, la temperatura en el volumen P en el instante actual, solamente depende de los valores de temperaturas de los volúmenes W, P y E en el instante anterior, que son valores ya conocidos, por lo tanto el cálculo es directo.

En el caso del método explícito, existe una restricción del coeficiente para que sea positivo, ya que uno de los criterios de estabilidad para la resolución numérica del sistema de ecuaciones resultante indica que todos los coeficientes deben ser positivos:

Método Implícito

En el caso del método implícito, el valor de f es 1. Por lo tanto, los valores de cada coeficiente son:

Se puede apreciar que la temperatura en el centro del volumen P en el tiempo actual, depende de la temperatura en dicho volumen en el tiempo anterior y de las temperaturas en los centros de los volúmenes E y W en el tiempo actual, esto provoca que la resolución numérica de dicho sistema de ecuaciones debe ser hecha mediante un método iterativo.

Además, en este caso, todos los coeficientes son positivos y no existe ninguna restricción, por lo tanto, este método es más versátil, ya que se pueden ajustar los valores de Ax_py At de acuerdo a las necesidades de cada problema específico.

Ejemplo de Resolución Numérica

A continuación se muestra un ejemplo de resolución de un problema de transferencia de calor unidimensional en régimen transitorio, cuya programación se hizo en C++, archivándose los resultados numéricos en un archivo .dat, que posteriormente fueron graficados mediante EES con las funciones New Plot y Overlay Plot.

En este caso, se dividió el cuerpo en veintiún volúmenes internos más dos medios volúmenes ubicados en los extremos izquierdo y derecho. Se tomaron el instante inicial más veinte instantes de tiempo adicionales. Las propiedades térmicas del material corresponden a las propiedades del acero AISI 1020.

Posibles Aplicaciones y Recomendaciones

En el campo metalúrgico y de ciencia de materiales, el modelo matemático desarrollado, puede ser utilizado para el análisis de los diferentes procesos de tratamiento térmico, pudiendo hacerse algunas modificaciones en función de la geometría del material, que en algunos casos requerirá ampliar la formulación matemática para problemas bidimensionales o tridimensionales de transferencia de calor en régimen transitorio, ya que en estos procesos, la importancia del análisis se centra en la parte transitoria y no así en la permanente. Para geometrías más complejas, se deberá hacer uso de mallas no estructuradas que se adapten mejor a la geometría de la pieza a ser tratada, en este caso, el estudio fue hecho a partir de mallas estructuradas.

En los procesos de tratamiento térmico no será necesario ampliar la formulación para casos de "transporte" de la temperatura en algún medio fluido, pero por ejemplo, en procesos de fundición ó solidificación de aleaciones, puede ser utilizado el método de volúmenes finitos a través de modelos que impliquen transporte de propiedades a través de un medio fluido.

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Nomenclatura

Referencias

KREITH, Frank; BOHN, Mark. "Principios de Transferencia de Calor". 62 Ed. México: Thomson Learning, 2001.        [  ]

PATANKAR, S.V. "Numerical Heat Transfer and Fluid Flow". 12 ed. New York: McGraw-Hill, 1980.        [  ]

MALISKA, Clovis R. "Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional". 2§ Ed. Sao Paolo: LTC, 1995.        [  ]